積分と円錐

\int_{0}^{r} x^2 dx = \frac{1}{3}r^3

上の積分は四角錐の体積を求める行為と解釈できる。四角錐の1/3ファクターは単純に積分するだけでも出せるが、微積を知らなくとも任意の立方体が体積の等しい3つの四角錐に分割できることから自明だ*1。これは、三角形の面積が平行四辺形の等積2分割によって導かれることの自然な拡張だ。2次関数が四角錐の体積によって記述できるのは、1次関数の積分が三角形の面積によって記述できるのと同じ。

もちろん、2次関数を体積ではなく曲線ままで求積をするのにも微積分は必要なく、中学生レベルの計算で十分だ。2次関数から高々2次の関数を引いても高々2次関数であり、すべての2次関数が相似である事を利用すれば、区分求積や積分を知らずともy=x^2が長方形を2:1に分割することは初等数学で直ぐに導ける。

*1:より一般的には平行6面体について成立