錐と求積：微積分の地平 - Active Galactic : 11次元と自然科学と拷問的日常

とある冊子のチェックをしてて「球の表面積が体積の微分で得られる事を知って驚いた」との記述を見つける。円の求積が三角形の集合体であるのと同様、球が高さrの錐の集合体であることを考えれば、 $V=\frac{1}{3}rS$ となるのは、微積分を使わずとも自然な事。

球の体積も、zの断面積が
$S=\pi \left( \sqrt{r^2-z^2} \right)^2 = \pi (r^2-z^2)$
であたえられることから、以下の変形により円柱から円錐をくり貫いたものと見なせ

$V=2 (\pi r^3 - \frac{1}{3} \pi r^3) =\frac{4\pi}{3} r^3$
となることは中学校レベルの算数でも確認できる。