阪大入試をダシに音波の話

阪大の物理の入試問題の誤りが局所的に話題になっている。

平成29年度大阪大学一般入試(前期日程)等の理科(物理)における出題及び採点の誤りについて — 大阪大学
このたび、本学において、平成29年度大阪大学一般入試(前期日程)等の理科(物理)における出題及び採点に誤りがあったことが判明いたしました。そのため、改めて採点及び合格者判定を行い、新たに30名を合格者としました。

問題の正答について話が錯綜する中で,音波という現象の振る舞いに一部で混乱もみられるので,すこし考えを整理しておこう。

音波の反射に関する位相の扱いが難しいという感想も出ているが,QCDなどに比べれば単純な数学であり,単に慣れていないだけだろうと考えている。

まずは関係式

粗密がどうだとか変位がどうのだとか自然言語でごちゃごちゃ書いたところで混乱が深まるばかりなので,はじめに音波(微小摂動の弾性による伝搬)における各物理量の関係を書いておく。媒質の変位の分布をXとするとき,流速,密度,圧力の微小摂動は次の関係で表される。

\begin{align}
& \delta u = \frac{\partial X(t,x)}{\partial t} \tag{1} \\
& \delta \rho = -\rho_0 \frac{\partial X(t,x)}{\partial x} \tag{2}\\
& \delta p = c^2 \delta \rho = -\rho_0 c^2 \frac{\partial X(t,x)}{\partial x} \tag{3}
\end{align}

媒質の運動速度 \delta u は変位Xの時間変化率であり,圧力変化 \delta pは変位Xの空間勾配(体積の変化率に比例)に比例する。(1)-(3)は運動方程式オイラー方程式)や状態方程式から導出されるもので,壁の中だろうが空気中だろうが水中だろうが成立する。

反射という現象

反射という現象は,密度や音速が不連続になっているところで発生する。密度や音速が異なれば同じ組成(例えば冷水と温水の接触面)でも構わない。

f:id:active_galactic:20180108141513j:plain:w400

図のような反射を考え,不連続面を挟んで以下の境界条件を課す。

  • 圧力は連続である。(衝撃波のような極端な圧力波を考えない)
  • 変位は連続的である。(例えば,空気と壁の間に隙間(真空)ができたり,空気が壁に染み込んだりしない)

変位でみた反射波・透過波の複素振幅を適当な係数R, T を使って(4)のようにおく。この時点では,反射波の位相について何も仮定されていない。

\begin{align}
& X = X_0 e^{i\omega (t - x/c_1)} + RX_0 e^{i\omega (t + x/c_1)} = TX_0 e^{i\omega (t - x/c_2)} \tag{4}\\
\end{align}

あとは圧力が連続であるという要請と,最初に示した式から流速や圧力の摂動がすぐに決まる。

\begin{align}
& \delta u = i\omega X_0 e^{i\omega (t - x/c_1)} + i\omega RX_0 e^{i\omega (t + x/c_1)} = i\omega TX_0 e^{i\omega (t - x/c_2)} \tag{5}\\ \label{aaa}
& \delta p = i\omega \rho_1 c_1 X_0 e^{i\omega (t - x/c_1)} - i\omega \rho_1 c_1 RX_0 e^{i\omega (t + x/c_1)} = i\omega \rho_2 c_2 TX_0 e^{i\omega (t - x/c_2)} \tag{6}
\end{align}

反射波や透過波に関する,欲しい各物理量の振幅・位相の関係は,(4)-(6)で概ね語り尽くされている。

反射波,透過波の複素振幅を決める係数R,Tは,(5)-(6)を連立することで得る。

\begin{align}
& R=\frac{\rho_1c_1 - \rho_2 c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2 c_2} & T=\frac{ 2 \rho_1c_1}{\rho_1c_1 + \rho_2 c_2} \tag{7}
\end{align}

最初に着目する物理量はどれでもいい

音波の伝搬においては変位,流速,圧力,温度,すべてが変化する。これらは単純な関係(微分とか)でつながっていて,ぜんぶ整合的に動く。変位に着目しようが圧力偏差に着目しようが,粗密に着目しようが音波という現象はひとつである。

特定の物理量XXXの摂動が本質という事はない。

反射波の変位の同位相・逆位相は密度ρと音速cの積ρcが決める

(7)では圧力ρと音速cの積ρcが反射波の複素振幅を決めている。ρcを音響インピーダンスといい,基本的*1に壁のインピーダンス Z_2=\rho_2c_2は空気のインピーダンス Z_1=\rho_1c_1より大きいので,Rは負であり,反射波の変位は逆位相。

\begin{align}
& R=\frac{\rho_1c_1 - \rho_2 c_2}{\rho_1c_1 + \rho_2 c_2} = \frac{Z_1- Z_2}{Z_1 + Z_2} < 0 \tag{8}
\end{align}

位相変化量は物理量によって異なる

Rが負であることを踏まえて,(5)-(6)をみると,空気中を伝わってきた音波が硬い壁にぶつかる場合,圧力は同位相,変位や流速は逆位相で反射することが分かる。同位相・逆位相は着目する物理量によって異なるが,音波の反射というひとつの現象を,異なる視点から眺めたものに過ぎない。

入射側の音響インピーダンスの方が大きい場合

例えば,壁の中を伝わってきた音波が壁と空気の境界で反射する場合,Rは正であり,(4)-(6)から,圧力も変位も流速も同位相で反射する。

変位に関して縦波だから横波だからという議論はそこまで気にしなくていい

変位の向きこそ異なるが,横波である弦の振動だろうが,縦波である音波だろうが,変位や流速は境界(壁面とか端点とか)でほぼ0になる*2

壁の反射は特に迷う所は無いが,音叉はすこし厄介だと考えている。

音源から放射される摂動の方位分布は,発生機構によって異なる。例えば爆弾の爆発なら東宝的に圧力波が広がるし,スピーカーのような膜振動なら双極的な放射になる。

現実の音叉から放射される音波は圧力に関して双極放射的なモードや四重極放射的なモード(こっちが卓越?)が混じっているようである。高調波を無視しても,Uが開いたり閉じたりする振動モード,捻るような振動モード,Uがまるとご揺れる振動モード(双極的な音圧を放射する)があり,箱との響鳴もそれなりに厄介そう。

それらを脇において,圧力摂動が四重極卓越であることを図1および問1が主張しているのであれば,(逆方向に向かう音波を比較した場合)圧力摂動に関して同位相,変位に関して逆位相の摂動を,放射していると見做せる。

一端そう読み取れば,音叉が居座るただ一点を覗いて,不穏な点はない。

音叉の特異点

音叉から放射される摂動の位相は,あくまでも,音叉から離れたところを記述しているものである。遠方の性質を,安直に音叉の位置まで繋いではいけない。

慎重な受験生は,問題文に書かれたように音叉を真に点音源だと見做してしまうと,音叉がまさに存在している位置の各物理量が不定か発散していることに気づくだろう。密度が連続で,流速が不連続な点は流体力学基本法則が許さない。

どうしても発散を除きたい場合は,無限小ではなく有限サイズを仮定して音叉近傍の複雑な場を計算するか,潮汐変形する(有限サイズの)より単純な物体(ただし壁からの反射波は横を素通りするものとする)あたりで代用することになると考えている

最後に

限られた解答時間でどこまでの現象認識と割り切り判断が受験生に求められていたか微妙だが,当事者でない身には音波という現象をいろいろな人が再確認するよい機会

*1:壁がエアロゲルのように軽くゴムのように音速の遅い特殊素材でできているだとか,無数の細かい孔が開いていてリアクタンス成分があるだとか,レーダー等で圧力波の到来を検知してアクティブに壁面を支えるアクチュエーターが動いて波を打ち消したりしない

*2:正確には壁面材質のインピーダンスが無限大でない限りわずかに動いている。その振幅は入射波の振幅に対してTを掛けたものに等しい

海退の地政:海面低下の社会的影響を想像する

いつかくる海退期

地球史において海水面の高さは様々に変化してきた。例えば今から2万年前の海面高度は現在のそれと比べて約130m低く,日本列島は大陸とつながっていた。一方で0.6万年前は海面高度が現在より高く,埼玉は海に面していた。過去数百万年を振り返ると海面高度は100mくらい軽く変動し続けてきた。現在の海水面は温暖化により短期的には上昇傾向にあるが,気候と海が永遠でない以上,現在より低い時代はいつか来る。

海面低下によって水で隔てられた地域が次々と陸でつながっていく過程は社会に大きな影響を与えるだろう。海退がどのように進行していくかざっくりとみてみよう。

ここでは単純に現在の世界地図で海面を下げていったときの海岸線の変化のみに着目する。氷河形成や海面低下によるアイソスタシーの調節は考慮しない。減った海水は虚空に消え,大地は浮沈・摩耗・堆積のない剛体として考える。氷河形成や大氷河の麓に形成される巨大な湖も考えない。

地形データは以下のものを使用した。(ETOPO1: 雪氷あり)
https://www.ngdc.noaa.gov/mgg/global/
描画はGeneric Mapping Tools を使用した。
http://gmt.soest.hawaii.edu/

10m 低下(北方領土と北海道の融合等)

国後島が北海道と融合する。海水面が10m低下しただけで,ロシアと日本の実効支配地域は陸で繋がる。道東に軍事境界線のようなものが形成されるようになるかもしれないし,ロシア軍と自衛隊の衝突もあるかもしれない。

サハリンとユーラシア大陸も融合する。間宮海峡は浅い。

交通の要衝であるマラッカ海峡は,現在でも喫水20m程度に制約されているが,10m低下すると通行は更に困難になる。地域経済に与える影響は大きい。マラッカ運河のようなものが掘られるかもしれない。

500年前は干潮時に歩いて渡れたというインドとスリランカが再び繋がることも見逃せない。タミル人の済む土地が陸で繋がる。

30m 低下(ブリテン半島,スマトラ半島,伊勢湖,…)


f:id:active_galactic:20180101193308j:plain:h200f:id:active_galactic:20180101194245j:plain:h200f:id:active_galactic:20180101194937j:plain:h200

九州,四国,本州は合体して一つの島になる可能性がある。東京湾や瀬戸内海が通れなくなり,伊勢湾は伊勢湖になる。歯舞島は北海道と融合する。北方領土のうち二島は,何万年後かしらないが,いつか北海道と融合するときがくる。(尖閣諸島は大陸だが)

イギリスは時間帯によって部分的に大陸と繋がり島国では無くなっているかもしれない。(十分に繋がるには40mはほしい)

交通の要衝であったマラッカ海峡は,このままだと完全に塞がる。ジャワ島あたりも大陸から伸びた半島になるので,海上交通は今と大きく様変わりしているだろう。

60m 低下(大陸結合)

f:id:active_galactic:20180101193332j:plain:h200f:id:active_galactic:20180101195550j:plain:h200

  1. ベーリング海峡が繋がる
  2. 北海道とサハリン(ユーラシア大陸)が繋がる
  3. 台湾島と大陸が繋がる
  4. アイルランドと大陸が繋がる
  5. オランダの国土が激増

東アジアの地政が大きく変わる。ロシアから人間や車が陸路で北海道に来られるようになる。大陸から台湾まで陸路でいけるようになる。その時代まで国境線というものが残っていたなら,突発的な事態による国境線の動きやすさがだいぶ違いそう。

f:id:active_galactic:20180101201751j:plain:h200

ベーリング海峡が繋がり,アフリカからアジア・北米を経て南米まで陸路でいけるようになる,

120 m 低下 (2万年前相当)

f:id:active_galactic:20180101193504j:plain:h200

  1. 黄海の消滅(朝鮮半島は半島でなくなる)
  2. 日本海は内海へ
  3. 朝鮮半島と日本列島の結合
  4. 尖閣諸島が大陸と繋がりはじめる

かつて九州とよばれた土地が大陸と繋がるのはけっこう遅い

7000m 低下 (数億年後?)

f:id:active_galactic:20180101193358j:plain

海水面は気候等が理由で短期的(数千年〜数万年くらい)では上がったり下がったりしているが,長期的な視点(数億年〜)でみると低下傾向にある。40億年前は大きな大陸も無く惑星のほとんどを占めていたであろう海の面積はいまや地球表面の7割まで低下した。ここ数億年はマントルが冷えて海水をがぶ飲みできるようになったという話が出ており,地球の海の歴史も終盤に差し掛かったといえるかもしれない。

マントルへの海水の逆流の推定されるペースで海水喪失が続いた場合,地球を脱出しないことを選んだ数億年後の人類は,かつて海溝だった湖の畔(巨大地震による地殻変動がやばそう)に集まって暮らすことになるだろうと想像している。それ以外は果てしなく続く砂漠。太陽光度も数%上昇しそれなりに過酷な世界だ。

重力波天文学がはじまる

ブラックホールの衝突に伴う重力波が観測されたというニュースが世界中を駆け巡った。洞窟に残された簡素な暦にはじまる天文学3万年の歴史においても特別な瞬間だ。

今から約400年前,ガリレオが望遠鏡という発明品を使って天体観測を行い,肉眼の限界を超えた宇宙の深淵に至る扉を開いた。近代天文学の到来である。人類が知る宇宙は劇的に広くなった。

今から約100年前,可視光以外の電磁波を観測する望遠鏡がまったく異なる宇宙を人類に見せた。ブラックホール ,分子雲,星間磁場,さまざまなものに満ちた宇宙,20世紀を特徴づける全波長天文学のはじまりである。20世紀末には光子以外の粒子を使った天体観測も急速に発達した。

そしてついに究極の透過力を誇る重力波を使った新たな宇宙観測への扉が開かれた。

f:id:active_galactic:20160214151533j:plain:w350
LIGOで観測された重力波

A. 重力波はどんなものか

まず,電磁波を既知として,重力波がどのようなものか比較してみよう。

電磁波が電磁場の波であるのに対して,重力波は時空の歪みが伝搬する。重力波が通過すると空間が変形(伸び縮み)して潮汐力を受ける。超強力な重力波を浴びても,SFのアトラクタビームのように重力波源に引っ張られたりしないし,地震のように上下左右に振り回されもしない。重心は動かないまま全身をいろんな方向に歪められるイメージを抱くとよいかもしれない。

重力波は横波だ。進行方向をzとすると変形はxy方向に起こる。適当な条件とものさし(ゲージ)を選んだ場合,方程式も似た形で表せる。*1

偏波が2つあることや光速で伝わることも電磁波と同じだ。しかし,電磁波と違って90度回転させたら自分自身と同じモードなので,偏波は互いに45°ずれる。電磁波はダイポールアンテナで効率よく発振できるのに対し,重力波は双極子ではだめで四重極の摂動が必要になる。

f:id:active_galactic:20160214141542g:plain:w300

電磁波 重力波
振動するもの 電磁場 時空の歪み
縦波?横波? 横波 横波
自由度 2 2
伝搬速度 光速 光速
発生源 電荷・電流の変動 エネルギー運動量の変動
最低次の摂動 ダイポールで可 四重極の摂動から
透過力 物質で散乱・遮蔽 極めて高い
検出のしやすさ 比較的簡単 至難
方程式 \left( -\frac{\partial}{c^2\partial t^2}+\Delta \right) A_\mu =0 \left( -\frac{\partial}{c^2 \partial t^2}+\Delta \right) \psi_{\mu\nu} =0

B. 重力波を観測することで何が得られるのか

重力波の観測が何に繋がるのか,「物理学」「天文学」「工学」の側面からすこし記述しておこう。

B1. 物理学的な意義

重力波は,脱出速度が光速に迫るような真に強い重力下で,時空が激しく変動するような世界でも,相対性理論が正確であるかを検証することができる。

一般相対性理論の検証は,今日に至るまで無数に行われてきた。建物の1階と4階では時計の進みが精密な時計で測定可能なレベルでずれる。地球の自転によって慣性系が引きずられる。近日点移動や重力レンズ効果も計算通りだ。しかし,これらは重力が静的で弱い極限での検証だ。

相対性理論の検証だけでなく,他の理論の検証にも有効である。コスミックストリングなどいくつかの理論で予想されている物体は重力波を放射すると言われている。

重力波分散関係を調べることで,グラビトン(重力子)の質量を推定することが出来る。今回の観測から,重力子の質量は 2.1\times 10^{-58} [kg]以下と推定された。コンプトン波長は1光年を超える。

B2. 天文学的な意義

すでに,今までよく見えていなかった宇宙の一端が人類に示された。AGNやGRBのような激しい天体の深部はしばしば厚い物質に遮られ,光は副次的な効果を見ているに過ぎないことがある。また,降着円盤をほとんど伴わないブラックホール (BH) などを捉えることは難しかった。

今回の観測では,BHの質量がそれぞれ30太陽質量であったことに驚かされた。知っている恒星質量のBHと比較するとかなり重い。このような連星がどうできたかについては色々な議論があるようだ。

また,BHの質量だけでなく回転も測定された。BHは電気的にほぼ中性であり,質量と回転だけで状態が決まる。最終的に出来たBHの回転は理論限界の0.67倍程度であり,衝突前のBHも重いほうが理論限界の0.7倍未満という制約がついた。これもブラックホールの成長モデルを考える上で重要な情報になる。

重力波はあらゆる物質を透過し,宇宙誕生直後の不透明なプラズマだった時代すら貫いて届く。宇宙の晴れ上がり以前,原始の重力波は今も宇宙を満たしている。LIGOとは帯域が異なるが,重力波観測はいずれ超巨大BHや初期宇宙の情報にも届きうる。

f:id:active_galactic:20160214224532p:plain:w450
測定されたBBHのパラメタの一例

B3. 工学的な意義

いわゆる「何の役に立つか」的な問いだが,スピンオフとして,震動を極限まで抑える技術や,大強度でも極めて安定した光学系,原子核の大きさより遥かに微小な距離変化を測定する技術が産業界で必要とされる状況はあるかもしれない。

重力は時空のあり方そのものなので,4次元時空に縛られた他の素粒子と違って,重力波余剰次元であっても伝搬するだろう。宇宙モデルによっては,別の宇宙に信号を送るといったことは可能かもしれないが,現状ではSF的与太話の範疇を出ず,21世紀の技術で議論する話ではない。

おまけ

Q&A. すごいエネルギーが放出されたそうだけどどのくらい凄い?

見積もられた重力波のピーク出力は, 3.6\times 10^{49} \mathrm{W}と,太陽の核融合反応3.84\times 10^{26} \mathrm{W}より23桁くらい大きく(別な言い方をすれば1000垓太陽光度),会見では宇宙にあるすべての星のエネルギー消費を足し合わせたものの50倍といった表現もなされていたが,これはそこまでイカレタ値ではない。ミリ秒オーダーの時間で放出されたのでピーク出力は超新星より何桁か鋭いけど,重力波の総エネルギーは 5 \times 10^{47} \mathrm{J}程度で,Ia型超新星の数千倍程度に留まるし,大質量星の重力崩壊で開放される位置エネルギーも似たオーダーになりうる。

Q&A. 地球にいくつ重力波望遠鏡が必要?

単純に到達時間だけの情報を使うと,2つの重力は望遠鏡で測定すると,天球上で円状の領域まで重力波発生源を絞ることが出来る。3点あれば位置特定には十分なように見えるが,重力波望遠鏡はすべての方向からくるすべての偏波に対して感度がある訳ではない。空間の変形方向と,干渉計の向きがある程度噛み合う必要がある。全天をカバーするならもっと欲しい。

さらに言えば,LIGOやKAGRAはすべての重力波帯域をカバーしている訳ではないので,より低い周波数もターゲットにするなら宇宙重力波望遠鏡など別のセットも必要になってくるだろう。

資料:

公式資料は以下のサイトで入手できる
LIGO-P150914-v14: Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger

*1:ただし,ここで書いた式は弱い重力波の極限なので,非線形な効果が効いてくる領域等では違いは出る。

ヒャッハー,数式が使い放題だぜーー

http://staff.hatenablog.com/entry/2014/05/23/154617


はてなブログTeXの表示が美しくなったと聞いて,思わず「はてなブログ」をサインアップしてしまった。

 m \vec{a}=\vec{f}

 \partial_{\mu}F^{\mu\nu}=j^{\nu}

 \Psi \sim  \left| バ \right>\bigotimes \left| ナ \right>\bigotimes \left| ナ \right>

 n \in \mathbb{N}

\left< \omega_1, \cdots ,\omega_n\right>_\beta = \int_{[ \overline{\mathcal{M}}_{0,n} (X,\beta) ] ^{vir}} ev^{*}_1 (\omega_1 )\cdots ev^{*}_n (\omega_n )

ちゃんとまともに表示されるようになって,素晴らしい限り。はてな万歳。デフォルトでTeXが使えることは,ブログサービスを選ぶ上でかなり重視しているが,今までは「一応使える」に過ぎなかった。

はてなダイアリーTexもアップデートされると嬉しい